Derivado f′(x0)f'(x_0) como límite de secantes
Tasa de cambio promedio el [x0;x0+Δx][x_0;x_0+\Delta x] (secante): ΔyΔx=f(x0+Δx)−f(x0)Δx.\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}. La derivada (si el límite existe y es finito): f′(x0)=lim⁡Δx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx.f'(x_0)=\displaystyle\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}. Geometría: f′(x0)f'(x_0) es la pendiente de la tangente a y=f(x)y=f(x) en (x0;f(x0))(x_0;f(x_0)). Física: si xx es tiempo y f(x)f(x) es la posición, entonces f′(x0)f'(x_0) es velocidad instantánea en x0x_0.
La derivada puede no existir: esquina, tangente vertical, discontinuidad
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