Un vector es una flecha, no una lista de números

Cuando la gente dice "vector", la mayoría de los principiantes piensan en "conjunto de números". Esa intuición está equivocada. Un vector es una flecha en el espacio: tiene dirección y longitud. Imagínese estar en el centro de una ciudad. “Tres cuadras al norte y dos al este” es un vector. En ML, cada objeto (cliente, foto, palabra) se convierte en una flecha en un espacio de características de alta dimensión, y el modelo aprende a distinguir estas flechas.

Vectores: intuición y matemáticas

Matemáticamente, un vector es una lista ordenada de números, p.e. [3,0, -1,5, 0,8]. Cada número es una coordenada a lo largo de una dimensión. En ML, las características de un objeto (altura, peso, edad) son coordenadas y el objeto vive en el espacio de características. Los objetos cercanos son objetos similares.
Un vector especifica la posición de un punto en un espacio de características de alta dimensión
Dos vectores 'se acercan' → dos objetos similares. En eso se basa k-NN
La dirección de un vector importa más que su longitud: la similitud del coseno utiliza esto
Word2Vec, BERT, CLIP: todos convierten objetos (palabras, imágenes) en vectores
L1 y L2: cómo medir la longitud de una flecha

La norma de un vector es su "longitud". Pero la longitud se puede medir de diferentes maneras. L2 (Euclidiana) es la línea recta desde la cola hasta la punta:x2+y2\sqrt{x^2 + y^2}. L1 (Manhattan) se mueve en una cuadrícula, solo a lo largo de los ejes:∣x∣+∣y∣|x|+|y|. Haga clic en cada métrica a continuación para ver la diferencia visualmente.

Haga clic en una métrica para resaltar la ruta correspondiente
2Д ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
0(3, 4)
Producto escalar: cuánto se alinean dos flechas

El producto escalara⋅b=a1b1+a2b2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2mide cuánto apuntan dos vectores en la misma dirección. Si el ángulo entre ellos es pequeño, el producto es grande y positivo. Si son perpendiculares, cero. Si apuntan en direcciones opuestas, negativas. Arrastre el vector B con el mouse y observe cómo cambia el resultado.

Arrastra la punta del vector B y observa cómo cambian el ángulo y la "similitud".
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ · Objeto A · Objeto B
Objeto AObjeto B
cos(θ) = directional similarity
cos(θ) = 0.857 — similarity +
Objeto A · Objeto B = 15.00 = |Objeto A|·|Objeto B|·cos(θ) = 4.12 · 4.24 · 0.857 ≈ 15.00
En una red neuronal, cada neurona es un producto escalar.

Cada neurona hace exactamente una cosa: calcula el producto escalar del vector de entrada con el vector de peso. Luego, la activación decide si la neurona "se dispara". Es por eso que comprender los vectores no es una matemática abstracta: es la base de cómo funciona cualquier red neuronal.

Haga clic en una línea para ver qué hace ▼
python
1
import numpy as np
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2
a = np.array([1.0, 2.0, 3.0])
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3
b = np.array([4.0, 5.0, 6.0])
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4
dot = np.dot(a, b)  # 1*4 + 2*5 + 3*6 = 32
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5
l2 = np.linalg.norm(a)  # √14 ≈ 3.74
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6
l1 = np.linalg.norm(a, ord=1)  # 6.0
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7
cos_sim = dot / (np.linalg.norm(a) * np.linalg.norm(b))
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En los sistemas de recomendación (Spotify, Netflix), cada usuario y cada canción es un vector. Las recomendaciones son la búsqueda del vecino más cercano en ese espacio. Es por eso que las matemáticas vectoriales no son una abstracción: son el núcleo de los productos reales.