Методы решения показательных уравнений

Показательные уравнения

Уравнение вида $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ при $a>0$ , $a\neq1$ равносильно $f(x)=g(x)$ (монотонность показательной функции по $x$ ). Если основания разные, стараются привести к одному основанию или взять логарифм допустимой базы (с контролем ОДЗ). Вид $a^{f(x)}=b$ при $b>0$ решают как $f(x)=\log_a b$ . Вид с суммами $A\cdot a^{2x}+B\cdot a^x+C=0$ обычно сводят к квадратному: $t=a^x>0$ .

После замены $t=a^x$ отбросьте корни с $t\le0$

Приёмы

Ситуация	Шаг
Одинаковое $a$ в обеих частях	привести к $a^{f}=a^{g}$ , затем $f=g$
$4^x$ и $2^x$	записать $4^x=(2^2)^x=2^{2x}$
$3^x+3^{x+1}=12$	вынести $3^x$ как общий множитель
Смешиваются экспонента и число	$\lg$ / $\ln$ обеих частей при положительных частях

Далее — показательные неравенства, где решение опирается на $a>1$ или $0<a<1$ .

Вы различаете равносильные переходы для $a^{f}=a^{g}$ и умеете сводить задачу к алгебраическому уравнению или к $t=a^x$ .